设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

admin2017-12-29 39

问题设向量组（Ⅰ）：b₁，…，b_r，能由向量组（Ⅱ）：α₁，…，α_s线性表示为（b₁，…，b_r）=（α₁，…，α_s）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

选项

答案必要性：令B=（b₁，…，b_r），A=（a₁，…，a_s），则有B=AK，由定理 r（B）=r（AK）≤min{r（A），r（K）}，结合向量组（Ⅰ）：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r（B）=r，故r（K）≥r。又因为K为r×s阶矩阵，则有r（K）≤min{r，s}。且由向量组（Ⅰ）：b₁，b₂，…，b_r能由向量组（Ⅱ）：α₁，α₂，…，α_s线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r。综上所述 r≤r（K）≤r，即r（K）=r。充分性：已知r（K）=r，向量组（Ⅱ）线性无关，r（A）=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有PB=PAK=[*] 由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB）=[*]=r（K），即r（B）=r（K）=r，因此向量组（Ⅰ）线性无关。

解析

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考研数学三

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设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

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已知A，B是三阶方阵，A≠0，AB=0证明：B不可逆．

设矩阵，矩阵X满足AX+E—A2+X，其中E为3阶单位矩阵，求矩阵X．

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设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

设A是n阶可逆阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B．证明：B可逆，并推导A-1和B-1的关系．

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设，x∈(0，1]，定义A(x)=∫0xf(t)dt，令试证：

设α1=[1，0，一1，2]T，α2=[2，一1，一2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，一1，一5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=________．

如图由y＝0，x＝8，y＝x2围成一曲边三角形OAB，在曲边上求一点，使得过此点所作y＝x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大．

在旧车进入二手车交易市场前，汽车评估人员对车况进行全面检验，并用四种状态进行表述，即很好、较好、一般、较差。()

“三曹”指的是曹操与其子曹丕、曹植，他们都是“建安文学”的代表。()

在r对策者和K对策者中，“突然暴发”是________对策者种群数量变动的特征之一。

申请人符合会计从业资格考试报名基本条件且具备国家教育行政主管部门认可的中专以上(含中专)会计类专业学历(或学位)的，自毕业之日起(　　)年内免试会计基础、初级会计电算化(或珠算五级)。

我国进口贸易只应保证基本消费品的进口。()

甲、乙两公司订立一份书面合同，甲公司在A地签字盖章后邮寄给B地的乙公司，乙公司在合同中签字盖章，同时C地的丙公司为该合同提供保证，D地的丁公司为该合同提供抵押担保。该合同成立的地点是()。

我们党在长期执政条件下，保持先进性和增强创造力的决定性因素是坚持解放思想、实事求是的思想路线，弘扬与时俱进的精神。()

A．钼靶照片B．热图像C．B超D．细针穿刺细胞学检查对鉴别乳腺肿块囊实性有价值的检查是

非事件性新闻(暨南大学2011年研；北大2006年研)

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