设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

admin2017-12-29 71

问题设向量组（Ⅰ）：b₁，…，b_r，能由向量组（Ⅱ）：α₁，…，α_s线性表示为（b₁，…，b_r）=（α₁，…，α_s）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

选项

答案必要性：令B=（b₁，…，b_r），A=（a₁，…，a_s），则有B=AK，由定理 r（B）=r（AK）≤min{r（A），r（K）}，结合向量组（Ⅰ）：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r（B）=r，故r（K）≥r。又因为K为r×s阶矩阵，则有r（K）≤min{r，s}。且由向量组（Ⅰ）：b₁，b₂，…，b_r能由向量组（Ⅱ）：α₁，α₂，…，α_s线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r。综上所述 r≤r（K）≤r，即r（K）=r。充分性：已知r（K）=r，向量组（Ⅱ）线性无关，r（A）=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有PB=PAK=[*] 由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB）=[*]=r（K），即r（B）=r（K）=r，因此向量组（Ⅰ）线性无关。

解析

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考研数学三

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设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

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