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[2007年] 求微分方程y"(x+y′2)=y′满足初始条件y(1)=y′(1)=1的特解.
[2007年] 求微分方程y"(x+y′2)=y′满足初始条件y(1)=y′(1)=1的特解.
admin
2019-06-09
67
问题
[2007年] 求微分方程y"(x+y
′2
)=y′满足初始条件y(1)=y′(1)=1的特解.
选项
答案
所给方程为不显含y的可降阶的微分方程,可令y′=p(x),得到y"=p′降阶求解. 令P=y′得[*]=p′(x+p
2
)=p.原方程化为p′(x+p
2
)=p.注意到该方程仅含x的一次幂而含P的高次幂,可化为[*]=p而解之(以x为因变量,p为自变量).积分得[*]x=P+C
1
,即x=P(p+C
1
). 由初值x=1时p=y′(1)=1得C
1
=0,则P
2
=x,P=√x,即y′=√x. 再积分得y=[*]+C.由y(1)=l得C=1/3,故y=(2/3)x
3/2
+1/3.
解析
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考研数学二
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