讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0,+∞)内的交点个数(其中k为常数).

admin2018-06-27  33

问题 讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0,+∞)内的交点个数(其中k为常数).

选项

答案令f(x)=2x+ln2x+k-2lnx(x∈(0,+∞)),于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数.由 [*] 令g(x)=x+lnx-1 [*] 令f’(x)=0可解得唯一驻点x0=1∈(0,+∞). 当0<x<1时f’(x)<0,f(x)在(0,1]单调减少;而当x>1时f’(x)>0,f(x)在[1,+∞)单调增加.于是f(1)=2+k为f(x)在(0,+∞)内唯一的极小值点,且为(0,+∞)上的最小值点.因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关. 当f(1)>0即k>-2时f(x)在(0,+∞)内恒为正值函数,无零点. 当f(1)=0即k=-2时f(x)在(0,+∞)内只有一个零点x0=1. 当f(1)<0即k<-2时需进一步考察f(x)在x→0+与x→+∞的极限: [*] 由连续函数的零点定理可得,[*]x1∈(0,1)与x2∈(1,+∞)使得f(x1)=f(x2)=0,且由f(x)在(0,1)与(1,+∞)内单调可知f(x)在(0,1)内与(1,+∞)内最多各有一个零点,所以当k<-2时,f(x)在(0,+∞)内恰有两个零点.

解析
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