2. 考研
  3. 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且,则________。

已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且,则________。

admin2022-10-08  44
问题 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且,则________。
选项 A、点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B、点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C、点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D、根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
答案A
解析 由知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0
f(x,y)－xy≈(x2+y2)2（当|x|、|y|充分小时）
于是f(x,y)－f(0,0)≈xy+(x2 +y2)2
可见当y=x且|x|充分小时
f(x,y)－f(0,0)≈x2+4x4＞0
而当y=－x且|x|充分小时
f(x,y)－f(0,0)≈－x2+4x4＜0
说明函数f(x,y)在点(0,0)的充分小的邻域内既不恒大于f(0,0),又不恒小于f(0,0),所以点(0,0)不是f(x,y)的极值点。
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考研数学三

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