已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且,则________。

admin2022-10-08 51

问题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且

,则________。

选项 A、点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B、点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C、点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D、根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点

答案A

解析由

知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0
f(x,y)－xy≈(x²+y²)²（当|x|、|y|充分小时）
于是f(x,y)－f(0,0)≈xy+(x² +y²)²
可见当y=x且|x|充分小时
f(x,y)－f(0,0)≈x²+4x⁴＞0
而当y=－x且|x|充分小时
f(x,y)－f(0,0)≈－x²+4x⁴＜0
说明函数f(x,y)在点(0,0)的充分小的邻域内既不恒大于f(0,0),又不恒小于f(0,0),所以点(0,0)不是f(x,y)的极值点。

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