若矩阵A=相似于对角矩阵，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P使P-1AP=．

admin2022-04-10 95

问题若矩阵A=

相似于对角矩阵

，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P使P^-1AP=

．

选项

答案由题设，先求矩阵A的特征值，设E为三阶单位矩阵，则由0=｜A-λE｜=[*]=(6-λ)[(2-λ)²-16]，可得λ₁=6，λ₂=6，λ₃=-2，欲使A相似于对角阵A，应使λ₁=λ₂=6对应两个线性无关的特征向量，因此A-6E的秩为1，于是A-6E=[*] 可得出a=0，从而A=[*]，下面求特征向量．当λ₁=λ₂=6时，由(A-6E)x=0可得出两个线性无关的特征向量为ξ₁=(0，0，1)^T，ξ₂=(1，2，0)^T．当λ₃=-2时，由(A+2E)x=0可得λ₃=(1，-2，0)^T，于是P=[*]，且P^-1存在，并有P^-1AP=A，其中P^-1=[*]

解析

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考研数学三

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