2. 考研
  3. 下列结论正确的是( )．

下列结论正确的是( )．

admin2021-10-02  30
问题 下列结论正确的是(    )．
选项 A、若A，B特征值相同，则A～B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A，B特征值相同，则A，B等价
D、A，B的特征值相同且A，B都可对角化，则A～B
答案D
解析

因为|λE—A|=|λE一B|=λ2(λ一1)，所以A，B特征值相同，但r(A)=2≠r(B)=1，故A，B不相似，(A)不正确；对显然λ1=λ2=0，λ3=0，而r(A)=2，所以(B)不正确；由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故(C)不正确；设A，B的特征值相同且A，B都可对角化，令其特征值为λ1，λ2，…，λn因为A，B都可对角化，所以存在可逆阵P1，P2，使得P1-1AP1=P2-1BP2=从而有P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P1P2-1=P，则P-1AP=B，即A～B，选(D)．
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考研数学三

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