2. 考研
  3. 设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)． (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系； (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由．

设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)． (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系； (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由．

admin2018-08-02  76
问题 设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)．
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由．
选项
答案(1)由系数矩阵的初等行变换：A=[*](x3，x4任意)，令x3=1，x4=0，得ξ1=(0，0，1，0)T；令x3=0，x4=1，得ξ2=(-1，1，0，1)T，则ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一个基础解系． (2)若x是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，则存在常数λ1，λ2，λ3，λ4，使 [*] 由此得λ1，λ2，λ3，λ4满足齐次线性方程组 [*] 解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为 λ1=C，λ2=C，λ3=-C，λ4=C，其中C为任意常数． 故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解为 C(0，0，1．0)T+C(-1，1，0，1)T=C(-1，1，1，1)T，其中C为任意非零常数．
解析
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考研数学二

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