设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系; (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

admin2018-08-02  29

问题 设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

选项

答案(1)由系数矩阵的初等行变换:A=[*](x3,x4任意),令x3=1,x4=0,得ξ1=(0,0,1,0)T;令x3=0,x4=1,得ξ2=(-1,1,0,1)T,则ξ1,ξ2就是(Ⅰ)的一个基础解系. (2)若x是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解,则存在常数λ1,λ2,λ3,λ4,使 [*] 由此得λ1,λ2,λ3,λ4满足齐次线性方程组 [*] 解此齐次线性方程组,得其参数形式的通解为 λ1=C,λ2=C,λ3=-C,λ4=C,其中C为任意常数. 故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解,全部非零公共解为 C(0,0,1.0)T+C(-1,1,0,1)T=C(-1,1,1,1)T,其中C为任意非零常数.

解析
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