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设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系; (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系; (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
admin
2018-08-02
51
问题
设4元线性方程组(Ⅰ)为
又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k
1
(0,1,1,0)+k
2
(-1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
选项
答案
(1)由系数矩阵的初等行变换:A=[*](x
3
,x
4
任意),令x
3
=1,x
4
=0,得ξ
1
=(0,0,1,0)
T
;令x
3
=0,x
4
=1,得ξ
2
=(-1,1,0,1)
T
,则ξ
1
,ξ
2
就是(Ⅰ)的一个基础解系. (2)若x是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解,则存在常数λ
1
,λ
2
,λ
3
,λ
4
,使 [*] 由此得λ
1
,λ
2
,λ
3
,λ
4
满足齐次线性方程组 [*] 解此齐次线性方程组,得其参数形式的通解为 λ
1
=C,λ
2
=C,λ
3
=-C,λ
4
=C,其中C为任意常数. 故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解,全部非零公共解为 C(0,0,1.0)
T
+C(-1,1,0,1)
T
=C(-1,1,1,1)
T
,其中C为任意非零常数.
解析
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考研数学二
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