2. 考研
  3. 设A(2，2)，B(1，1)，Г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与 围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分 I=∫Г[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy．

设A(2，2)，B(1，1)，Г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与 围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分 I=∫Г[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy．

admin2017-11-23  64
问题 设A(2，2)，B(1，1)，Г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与 围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分
    I=∫Г[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy．
选项
答案把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式． I=∫Гπφ(y)cosπxdx+φ’(y)sinπxdy一2πdy+∫Г(一2πy)d[*]I1+I2，其中 I1=∫Гφ(y)dsinπx+sinπxdφ(y)一d(2πy)=[φ(y)sinπx一2πy]｜AB=2π． 为用格林公式求I2，添加辅助线[*]围成区域D，并构成D的负向边界，于是 [*] 又[*]的方程：y=x，x∈[1，2]，则 [*](-2πy)dx=∫12-2πxdx=-πx2｜12=-3π． 因此 I2=∫Г(一2πy)dx=一4π—[*](一2πy)dx =一4π+3π=一π． 故 I=I1+I2=π．
解析
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考研数学一

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