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设A(2,2),B(1,1),Г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与 围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分 I=∫Г[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy.
设A(2,2),B(1,1),Г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与 围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分 I=∫Г[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy.
admin
2017-11-23
46
问题
设A(2,2),B(1,1),Г是从点A到点B的线段
下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与
围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分
I=∫
Г
[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy.
选项
答案
把该曲线积分分成两部分,其中一个积分的被积表达式易求原函数,另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式. I=∫
Г
πφ(y)cosπxdx+φ’(y)sinπxdy一2πdy+∫
Г
(一2πy)d[*]I
1
+I
2
,其中 I
1
=∫
Г
φ(y)dsinπx+sinπxdφ(y)一d(2πy)=[φ(y)sinπx一2πy]|
A
B
=2π. 为用格林公式求I
2
,添加辅助线[*]围成区域D,并构成D的负向边界,于是 [*] 又[*]的方程:y=x,x∈[1,2],则 [*](-2πy)dx=∫
1
2
-2πxdx=-πx
2
|
1
2
=-3π. 因此 I
2
=∫
Г
(一2πy)dx=一4π—[*](一2πy)dx =一4π+3π=一π. 故 I=I
1
+I
2
=π.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S8r4777K
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考研数学一
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