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设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a,b为何值时, (1)β不能用α1,α2,α3线性表示; (2)β能用α1,α2,α3唯一地线性表示,求表示式; (3)β能用
设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a,b为何值时, (1)β不能用α1,α2,α3线性表示; (2)β能用α1,α2,α3唯一地线性表示,求表示式; (3)β能用
admin
2019-05-11
27
问题
设α
1
=(1,2,0)
T
,α
2
=(1,a+2,-3a)
T
,α
3
=(-1,-b-2,a+2b)
T
,β=(1,3,-3)
T
.试讨论当a,b为何值时,
(1)β不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示;
(2)β能用α
1
,α
2
,α
3
唯一地线性表示,求表示式;
(3)β能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表示式不唯一,求表示式的一般形式.
选项
答案
记A=(α
1
,α
2
,α
3
),则问题化归线性方程组AX=β解的情形的讨论及求解问题了. [*] (1)a=0(b任意)时 [*] 方程组AX=β无解,β不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示. (2)当a≠0,a≠b时,r(A|β)=r(A)=3,方程组AX=β唯一解,即β可用α
1
,α
2
,α
3
唯一表示. [*] AX=β的解为[*] (3)当a=b≠0时r(A|β)=r(A)=2,AX=β有无穷多解,即β可用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表示式不唯一. [*] AX=β有特解[*],而(0,1,1)
T
构成AX=0的基础解系,AX=β的通解为 [*]+c(0,1,1)
T
,c任意, 即β=[*],c任意.
解析
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考研数学二
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