函数f(x)在[0,+∞)上可导,且f(0)=1,满足等式 f’(x)+f(x)一∫0xf(t) dt=0. (1)求导数f’(x); (2)证明:当x≥0时,成立不等式e一x≤f(x)≤1.

admin2016-12-16  31

问题 函数f(x)在[0,+∞)上可导,且f(0)=1,满足等式
f’(x)+f(x)一0xf(t) dt=0.
(1)求导数f’(x);
(2)证明:当x≥0时,成立不等式e一x≤f(x)≤1.

选项

答案(1)整理后有等式 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf (t)dt=0, 求导得到 (x+1)f"(x)+(x+2)f’(x)=0. 设 u(x)=f’(x), 则[*] 两边积分得到 lnu(x)=一x一ln(x+1)+lnC, [*] 由f(0)=1,得f’(0)=一1代入u(x)可得C=一1. [*] 两边在[0,x]上积分,利用式①有 e一x一1≤f(x)一f(0)≤0, 即有不等式 e一x≤f(x)≤1.

解析 先在所给等式两边求导得到f(x)的二阶微分方程,为求f’(x),视f’(x)为因变量,化为一阶微分方程而求之.求出f’(x)的表示式后再放缩化为不等式,最后积分即可得到f (x)的不等式.
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