2. 考研
  3. 函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(0)=1，满足等式 f’(x)+f(x)一∫0xf(t) dt=0． (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式e一x≤f(x)≤1．

函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(0)=1，满足等式 f’(x)+f(x)一∫0xf(t) dt=0． (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式e一x≤f(x)≤1．

admin2016-12-16  50
问题 函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(0)=1，满足等式
f’(x)+f(x)一∫0xf(t) dt=0．
(1)求导数f’(x)；
(2)证明：当x≥0时，成立不等式e一x≤f(x)≤1．
选项
答案(1)整理后有等式 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf (t)dt=0， 求导得到 (x+1)f"(x)+(x+2)f’(x)=0． 设 u(x)=f’(x)， 则[*] 两边积分得到 lnu(x)=一x一ln(x+1)+lnC， [*] 由f(0)=1，得f’(0)=一1代入u(x)可得C=一1． [*] 两边在[0，x]上积分，利用式①有 e一x一1≤f(x)一f(0)≤0， 即有不等式 e一x≤f(x)≤1．
解析 先在所给等式两边求导得到f(x)的二阶微分方程，为求f’(x)，视f’(x)为因变量，化为一阶微分方程而求之．求出f’(x)的表示式后再放缩化为不等式，最后积分即可得到f (x)的不等式．
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考研数学三

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