微分方程y”-4y’+8y=e2x(1+cos 2x)的特解可设为y*=( )．

admin2022-09-22 46

问题微分方程y”-4y’+8y=e^2x(1+cos 2x)的特解可设为y^*=( )．

选项 A、Ae^2x+e^2x(B cos 2x+C sin 2x)
B、Axe^2x+e^2x(B cos 2x+C sin 2x)
C、Ae^2x+xe^2x(B cos 2x+C sin 2x)
D、Axe^2x+xe^2x(B cos 2x+C sin 2x)

答案C

解析齐次方程y”-4y’+8y=0对应的特征方程为λ²-4λ+8=0，解得λ_1，2=2±2i．
由于自由项f(x)=e^2x+e^2xcos 2x，因此可设方程y”-4y’+8y=e^2x的特解为y₁^*=Ae^2x，设方程y”-4y’+8y=e^2xcos 2x的特解为y₂^*=xe^2x(B cos 2x+C sin 2x)，从而原方程的特解可设为
y^*=y₁^*+y₂^*=Ae^2x+xe^2x(B cos 2x+C sin 2x)．

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