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设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=O.其中B= 用正交变换化二次型f为标准形;
设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=O.其中B= 用正交变换化二次型f为标准形;
admin
2020-10-21
46
问题
设二次型f=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
一x
3
2
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=O.其中B=
用正交变换化二次型f为标准形;
选项
答案
二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O,知λ
1
=0是矩阵A的特征值。B的列向量α
1
=(1,0,1)
T
是A的特征值λ
1
=0对应的特征向量.所以Aλ
1
=λ
1
α,即 [*] 由|2E一A|=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0,得矩阵A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=6,λ
3
=—6. 当λ
2
=6时,由(6E—A)x=0,得A的特征值λ
2
=6对应的特征向量α
2
=(1,2,一1)
T
; 当λ
3
=一6时,由(一6E—A)x=0,得A的特征值λ
3
=一6对应的特征向量α
3
=(一1,1,1)
T
. 将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得 [*] 取P=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则P是正交矩阵,且 P
-1
AP=P
T
AP=A=[*] 令x=Py,则x=Py即为所求正交变换,从而 f=x
T
Ax=y
T
(p
T
AP)y=6y
2
2
一6y
3
2
, 即为二次型f的标准形.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lF84777K
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考研数学二
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