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  3. 设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O．其中B= 用正交变换化二次型f为标准形；

设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O．其中B= 用正交变换化二次型f为标准形；

admin2020-10-21  36
问题 设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O．其中B=
用正交变换化二次型f为标准形；
选项
答案二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O，知λ1=0是矩阵A的特征值。B的列向量α1=(1，0，1)T是A的特征值λ1=0对应的特征向量．所以Aλ1=λ1α，即 [*] 由｜2E一A｜=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0，得矩阵A的特征值为λ1=0，λ2=6，λ3=—6． 当λ2=6时，由(6E—A)x=0，得A的特征值λ2=6对应的特征向量α2=(1，2，一1)T； 当λ3=一6时，由(一6E—A)x=0，得A的特征值λ3=一6对应的特征向量α3=(一1，1，1)T． 将α1，α2，α3单位化，得 [*] 取P=(η1，η2，η3)=[*]，则P是正交矩阵，且 P-1AP=PTAP=A=[*] 令x=Py，则x=Py即为所求正交变换，从而 f=xTAx=yT(pTAP)y=6y22一6y32， 即为二次型f的标准形．
解析
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考研数学二

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