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  3. 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

admin2016-09-12  55
问题 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
选项
答案由(αE-A)(bE-A)=O，得｜aE-A ｜.｜bE-A｜=0，则｜aE-A｜=0或者｜bE-A｜=0．又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n． 同时r(aE-A)+r(bE-A)≥r(aE-A)-(bE-A)]=r[(a-b)E]=n． 所以r(aE-A)+r(bE-A)=n． (1)若｜aE-A｜≠0，则r(aE-A)=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE． (2)若｜bE-A｜≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE． (3)若｜aE-A｜=0且｜bE-A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值． 方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个； 方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个． 因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学二

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