2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证：在(0,1)内存在一点ε，使得F"’(ε)=0.

设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证：在(0,1)内存在一点ε，使得F"’(ε)=0.

admin2022-09-05  108
问题 设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证：在(0,1)内存在一点ε，使得F"’(ε)=0.
选项
答案由f(0)=f(1)=0知存在ε1∈（0,1）,使得F’(ε1)=0 又由F’(x)=3x2f(x)+x3f’(x)知F’(0)=0 对F’(x)在[0,ε1]上应用罗尔定理，有ε2∈（0，ε1），使得F’’(ε2）=0 又F"(x)=6xf(x)+6x2f’(x)+x3f"(x),F"(0)=0 对F’’(x)在[0,ε2]上应用罗尔定理，知存在ε∈（0，ε2)[*](0,1),使得F’’’(ε)=0.
解析
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考研数学三

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