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设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证:在(0,1)内存在一点ε,使得F"’(ε)=0.
设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证:在(0,1)内存在一点ε,使得F"’(ε)=0.
admin
2022-09-05
44
问题
设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x
3
f(x),试证:在(0,1)内存在一点ε,使得F"’(ε)=0.
选项
答案
由f(0)=f(1)=0知存在ε
1
∈(0,1),使得F’(ε
1
)=0 又由F’(x)=3x
2
f(x)+x
3
f’(x)知F’(0)=0 对F’(x)在[0,ε
1
]上应用罗尔定理,有ε
2
∈(0,ε
1
),使得F’’(ε
2
)=0 又F"(x)=6xf(x)+6x
2
f’(x)+x
3
f"(x),F"(0)=0 对F’’(x)在[0,ε
2
]上应用罗尔定理,知存在ε∈(0,ε
2
)[*](0,1),使得F’’’(ε)=0.
解析
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考研数学三
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