已知A=是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P－1AP=A。

admin2018-02-07 32

问题已知A=

是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P^－1AP=A。

选项

答案A的特征多项式为 [*] =(λ一2n+1)(λ一n+1)^n－1，则A的特征值为λ₁=2n一1，λ₂=n—1，其中λ₂=n一1为n一1重根。当λ₁=2n—1时，解齐次方程组(λ₁E一A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有 [*] 得到基础解系α₁=(1，1，…，1)^T。当λ₂=n一1时，齐次方程组(λ₂E一A)x=0等价于x₁+x₂+…+x_n=0，得到基础解系 α₂=(一1，1，0，…，0)^T，α₃=(一1，0，1，…，0)^T，…，α_n=(一1，0，0，…，1)^T，则A的特征向量是k₁α₁和k₂α₂+k₃α₃+…+k_nα_n，其中k₁≠0，k₂，k₃，…，k_n不同时为零。 [*]

解析

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