(2001年)设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ－1)f(ξ)．

admin2018-07-24 42

问题 (2001年)设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足

证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ^－1)f(ξ)．

选项

答案令F(x)=xe^1－xf(x)，则 F(1)=f(1) 由积分中值定理得 [*] 由原式 [*] 知F(c)=F(1) 从而F(x)在[c，1]上满足罗尔定理条件，则存在ξ∈(c，1)使 F’(ξ)=0．即ξe^1－ξ[f’(ξ)一(1一ξ^－1)f(ξ)]=0 而 ξe^1－ξ≠0，故f’(ξ)一(1一ξ^－1ξ)f(ξ)=0 即 f’(ξ)=(1一ξ)f(ξ)．

解析

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考研数学三

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