2. 考研
  3. 设f(x)在(x0－δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n－1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)－f(x0)=hf′(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：

设f(x)在(x0－δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n－1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)－f(x0)=hf′(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：

admin2019-02-26  49
问题 设f(x)在(x0－δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n－1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)－f(x0)=hf′(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
选项
答案这里m=1，求的是当h→0时中值θ的极限．分别将f′(x0+θh)与f(x0+h)在x=x0展成带皮亚诺余项的n－1阶与n阶泰勒公式得 f′(x0+θh)=f′(x0)+f″(x0)θh+[*]f(3)(x0)(θh)2+…+[*]f(n)(x0)(θh)n－1+o(hn－1) =f′(x0)+[*]f(n)(x0)(θh)n－1+o(hn－1)(h→0)， f(x0+h)－f(x0)=f′(x0)h+…+[*]f(n)(x0)hn+o(hn) =f′(x0)h+[*]f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， 将它们代入原式后两边除以hn得 [*] 令h→0，得 [*]
解析
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考研数学一

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