2. 考研
  3. 求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

admin2018-11-11  38
问题 求功：
    (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?
    (Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?
选项
答案(Ⅰ)以球心为原点，χ轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)． [*] [*]取下半球中的微元薄片，即[*]取小区间[χ，χ＋dχ][*][－1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为，π(1－χ2)dχ，在水中浮力与重力相符， 当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋χ)，故需做功dω1＝(1＋χ)π(1－χ)2dχ．因此，对下半球做的功 ω1＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ． [*]取上半球中的微元薄片，即V取小区间[χ，χ＋dχ][*][0，1]，相应的小薄片，其重量为，π(1－χ)2d戈，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dω2＝π(1－χ2)dχ．因此，对上半球做的功 ω2＝∫01π(1－χ2)dχ． 于是，对整个球做的功为 ω＝ω1＋ω2＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ＋∫01π(1－χ2)dχ ＝∫-11π(1－χ2)dχ＋∫-10πχ(1－χ2)dχ [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取χ为积分变量，χ∈[0，R]． [*][χ，χ＋dχ]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R2－χ2)dχ， 又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dω＝πχ(R2－χ2)dχ．因此，所求的功 ω＝∫0Rπχ(R2－χ2)dχ＝π[*]
解析
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考研数学二

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