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求功: (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
求功: (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
admin
2018-11-11
52
问题
求功:
(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功?
(Ⅱ)半径为R的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
选项
答案
(Ⅰ)以球心为原点,χ轴垂直向上,建立坐标系(如图3.5). [*] [*]取下半球中的微元薄片,即[*]取小区间[χ,χ+dχ][*][-1,0],相应的球体小薄片,其重量(即体积)为,π(1-χ
2
)dχ,在水中浮力与重力相符, 当球从水中移出时,此薄片移动距离为(1+χ),故需做功dω
1
=(1+χ)π(1-χ)
2
dχ.因此,对下半球做的功 ω
1
=∫
-1
0
π(1+χ)(1-χ
2
)dχ. [*]取上半球中的微元薄片,即V取小区间[χ,χ+dχ][*][0,1],相应的小薄片,其重量为,π(1-χ)
2
d戈,当球从水中移出时,此薄片移动距离为1.所受力为重力,故需做功dω
2
=π(1-χ
2
)dχ.因此,对上半球做的功 ω
2
=∫
0
1
π(1-χ
2
)dχ. 于是,对整个球做的功为 ω=ω
1
+ω
2
=∫
-1
0
π(1+χ)(1-χ
2
)dχ+∫
0
1
π(1-χ
2
)dχ =∫
-1
1
π(1-χ
2
)dχ+∫
-1
0
πχ(1-χ
2
)dχ [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3.6.取χ为积分变量,χ∈[0,R]. [*][χ,χ+dχ]相应的水薄层,看成圆柱体,其体积为 π(R
2
-χ
2
)dχ, 又比重ρ=1,于是把这层水抽出需做功dω=πχ(R
2
-χ
2
)dχ.因此,所求的功 ω=∫
0
R
πχ(R
2
-χ
2
)dχ=π[*]
解析
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考研数学二
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