求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴。

admin2021-04-02 6

问题求椭球面

被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴。

选项

答案平面x+y+z=0过点(0，0，0)，也就是过椭球面中心，设(x，y，z)为截得的椭圆上任意一点，椭球面中心到(x，y，z)的距离为[*]，此即目标函数。设F(x，y，z，λ，μ)=x²+y²+z²+λ(2x²+3y²+6z²-6)+μ(x+y+z)，则 [*] ①×x+②×y+③×z，得 2(x²+y²+z²)+λ(4x²+6y²+12z²)+μ(x+y+z)=0 由④式，4x²+6y²+12z²=12，由⑤式，x+y+z=0，故 x²+y²+z²+6λ=0 ⑥ 又由①，②，③式，有 -μ=2x(1+2λ)=2y(1+3λ)=2z(1+6λ) 可得 [*] 代入⑤式，有 [*] 因距离的最大(小)值是存在的，故长半轴长为[*]，短半轴为[*]。

解析

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