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设A1,A2,…,AN都是n阶非零矩阵,满足AiAj= 证明每个Ai都相似于对角矩阵
设A1,A2,…,AN都是n阶非零矩阵,满足AiAj= 证明每个Ai都相似于对角矩阵
admin
2016-10-21
45
问题
设A
1
,A
2
,…,A
N
都是n阶非零矩阵,满足A
i
A
j
=
证明每个A
i
都相似于对角矩阵
选项
答案
对每个A
i
,取它的一个非零列向量,记作n
i
(不必是A
i
的第i个列向量). 由条件知,对每个i,A
i
η
i
=η
i
,当i≠j时,A
i
η
j
=0.即η
1
,η
2
,…,η
n
都是A
i
的特征向量,当i=j时特征值为1,否则为0. 下面证η
1
,η
2
,…,η
n
线性无关.设c
1
η
1
+c
2
η
2
+…+c
n
η
n
=0,用A
i
乘之,得c
i
η
i
=0,因为η
i
≠0,所以c
i
=0,i=1,2,…,n.这说明η
1
,η
2
,…,η
n
线性无关,从而A
i
相似于对角矩阵. 作P
i
=(η
i
,η
1
,…,η
i-1
,η
i+1
,…,η
n
),则 P
i
-1
A
i
P
i
=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SXt4777K
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考研数学二
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