设A1，A2，…，AN都是n阶非零矩阵，满足AiAj＝证明每个Ai都相似于对角矩阵

admin2016-10-21 24

问题设A₁，A₂，…，A_N都是n阶非零矩阵，满足A_iA_j＝

证明每个A_i都相似于对角矩阵

选项

答案对每个A_i，取它的一个非零列向量，记作n_i(不必是A_i的第i个列向量)．由条件知，对每个i，A_iη_i＝η_i，当i≠j时，A_iη_j＝0．即η₁，η₂，…，η_n都是A_i的特征向量，当i＝j时特征值为1，否则为0．下面证η₁，η₂，…，η_n线性无关．设c₁η₁＋c₂η₂＋…＋c_nη_n＝0，用A_i乘之，得c_iη_i＝0，因为η_i≠0，所以c_i＝0，i＝1，2，…，n．这说明η₁，η₂，…，η_n线性无关，从而A_i相似于对角矩阵．作P_i＝(η_i，η₁，…，η_i-1，η_i+1，…，η_n)，则 P_i^-1A_iP_i＝[*]

解析

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