2. 考研
  3. 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a＜x1＜x2＜x3＜b,证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f’’(ε)=0.

若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a＜x1＜x2＜x3＜b,证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f’’(ε)=0.

admin2022-09-05  54
问题 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a＜x1＜x2＜x3＜b,证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f’’(ε)=0.
选项
答案由于f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以f(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，再根据题意f(x1)=f(x2),由罗尔定理知至少存在一点ε1∈(x1，x2）,使得f’(ε1)=0 同理，在[x2，x3]上对函数f(x)使用罗尔定理得至少存在一点ε2∈(x2，x3)，使得f’(ε2)=0 对函数f’(x)由已知条件知f’(x)在[ε1，ε2]上连续，在(ε1，ε2)内可导，且f’(ε1)=f’(ε2)=0 由罗尔定理知至少存在一点ε∈(ε1，ε2)，使得f”(ε)=0 而(ε1，ε2)[*](x1，x3),故结论得证。
解析
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考研数学三

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