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若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,证明:在(x1,x3)内至少有一点ε,使得f’’(ε)=0.
若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,证明:在(x1,x3)内至少有一点ε,使得f’’(ε)=0.
admin
2022-09-05
43
问题
若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
),其中a<x
1
<x
2
<x
3
<b,证明:在(x
1
,x
3
)内至少有一点ε,使得f’’(ε)=0.
选项
答案
由于f(x)在(a,b)内具有二阶导数,所以f(x)在[x
1
,x
2
]上连续,在(x
1
,x
2
)内可导,再根据题意f(x
1
)=f(x
2
),由罗尔定理知至少存在一点ε
1
∈(x
1
,x
2
),使得f’(ε
1
)=0 同理,在[x
2
,x
3
]上对函数f(x)使用罗尔定理得至少存在一点ε
2
∈(x
2
,x
3
),使得f’(ε
2
)=0 对函数f’(x)由已知条件知f’(x)在[ε
1
,ε
2
]上连续,在(ε
1
,ε
2
)内可导,且f’(ε
1
)=f’(ε
2
)=0 由罗尔定理知至少存在一点ε∈(ε
1
,ε
2
),使得f”(ε)=0 而(ε
1
,ε
2
)[*](x
1
,x
3
),故结论得证。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YyR4777K
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考研数学三
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