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  3. 假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y= f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0＜c＜1.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.

假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y= f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0＜c＜1.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.

admin2022-09-05  71
问题 假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y= f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0＜c＜1.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.
选项
答案证法一 因为 f(x)在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在ξ∈(0,c),使f’(ξ1)=[*],由于点C在弦AB上，故有 [*] 从而f’(ξ1)=f(1)－f(0). 同理可证，存在ξ2∈(c,1),使得f’(ξ2)=f(1)－f(0) 由f’(ξ1)=f’(ξ2)知在[ξ1,ξ2]上，f’(x)满足罗尔定理的条件，所以存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*]（0,1）,使得f”(ξ）=0 证法二 点A与点B连线的方程为y=[f(1)－f(0)]x+f(0) 令F(x)= f(x)－[f(1)－f(0)]x－f(0),则 F(x)在[0,c]与[c,1]上满足罗尔定理条件,于是至少存在两点ξ1∈(0,c)和ξ2∈(c,1),使F’(ξ1)=0,F’(ξ2)=0, 于是,F’(x)在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理的条件,故至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0,1),使 F"(ξ)= f"(ξ) =0.
解析
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考研数学三

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