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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。 求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。 求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
admin
2019-01-13
48
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
一2x
1
x
2
—2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。
求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
选项
答案
二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知矩阵A的特征值为2,2,6。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。 由于2是A的二重特征值,而实对称矩阵A必可相似对角化,所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E—A的秩为1,而 [*] 所以a=一1。 由(λ
i
E—A)x=0(i=1,2,3)解得特征值λ
1
=λ
2
=2和λ
3
=一1对应的特征向量分别为 α
1
=(1,0,一1)
T
,α
2
=(0,1,一1)
T
,α
3
=(1,1,1)
T
, 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以先将α
1
,α
2
正交化,即 β
1
=α
1
=(1,0,一1)
T
,[*] 再将β
1
,β
2
,α
1
单位化,即 [*] 则正交变换矩阵 Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*]
解析
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考研数学二
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