设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a,b及正交矩阵Q.

admin2021-11-25 105

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=y₁²+y₂²+4y₃²，求参数a,b及正交矩阵Q.

选项

答案f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中[*],因为Q^TAQ=B=[*],所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵），于是A的特征值为1,1,4 而｜λE－A｜=λ³－(a+4)λ²+(4a－b²+2)λ+(－3a－2b+2b²+2)，所以有 λ³－(a+4)λ²+(4a－b²+2)λ+(－3a－2b+2b²+2)=(λ－1)²(λ－4) 解得a=2,b=1. 当λ¹=λ²=1时，由(E－A)X=0得ξ₁=[*],ξ₂=[*], 当λ³=4时，由(4E－A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁,ξ₂,ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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