2. 考研
  3. 设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a,b及正交矩阵Q.

设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a,b及正交矩阵Q.

admin2021-11-25  38
问题 设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a,b及正交矩阵Q.
选项
答案f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3的矩阵形式为 f=XTAX 其中[*],因为QTAQ=B=[*],所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵），于是A的特征值为1,1,4 而｜λE－A｜=λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)，所以有 λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)=(λ－1)2(λ－4) 解得a=2,b=1. 当λ1=λ2=1时，由(E－A)X=0得ξ1=[*],ξ2=[*], 当λ3=4时，由(4E－A)X=0得ξ3=[*] 显然ξ1,ξ2,ξ3两两正交，单位化为 [*]
解析
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考研数学二

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