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  3. 设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32 求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．

设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32 求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．

admin2016-12-09  60
问题 设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32
求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．
选项
答案所给二次型及对应标准形的矩阵分别为[*]因λ1=λ2=2是A的特征值，将其代入｜A一λE｜=0中易求得a=一1。 又因A～B，由相似矩阵的性质得到2+2+β=a11+a22+a33=1+1+1=3，则β=一1． 于是A的三个特征值为λ1=λ2=2，λ3=一1．解(A一2E)X=0，求出A的属于λ1=2的特征向量． 因[*]由基础解系的简便求法得到α1=(一1，1，0)T，α2=(一1，0，1)T．利用施密特正交化的方法将属于二重特征值λ=2的特征向量正交化(因α1，α2不正交)．为此，令β1=α1，[*] 再单位化： [*] 解[A一(一1)E]X=(A+E)x=0求出A的属于特征值λ3=一1的特征向量． 因[*]由基础解系的简便求法即得所求特征向量α3=(1，1，1)T，单位化得到[*] 则所用的正交变换矩阵为 [*]
解析
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考研数学二

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