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设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32 求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．
设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32 求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．
admin
2016-12-09
75
问题
设二次型f(x
1
，x
3
，z
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
－2x
1
x
2
一2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形f=2y
1
2
+2y
2
2
+βy
3
2
求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．
选项
答案
所给二次型及对应标准形的矩阵分别为[*]因λ
1
=λ
2
=2是A的特征值，将其代入｜A一λE｜=0中易求得a=一1。 又因A～B，由相似矩阵的性质得到2+2+β=a
11
+a
22
+a
33
=1+1+1=3，则β=一1． 于是A的三个特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=一1．解(A一2E)X=0，求出A的属于λ
1
=2的特征向量． 因[*]由基础解系的简便求法得到α
1
=(一1，1，0)
T
，α
2
=(一1，0，1)
T
．利用施密特正交化的方法将属于二重特征值λ=2的特征向量正交化(因α
1
，α
2
不正交)．为此，令β
1
=α
1
，[*] 再单位化： [*] 解[A一(一1)E]X=(A+E)x=0求出A的属于特征值λ
3
=一1的特征向量． 因[*]由基础解系的简便求法即得所求特征向量α
3
=(1，1，1)
T
，单位化得到[*] 则所用的正交变换矩阵为 [*]
解析
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考研数学二
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