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admin
2020-03-10
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考研数学三
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设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则①若A可逆,则B可逆;②若B可逆,则A+B可逆;③若A+B可逆,则AB可逆;④A一E恒可逆。上述命题中,正确的个数为()
设非齐次线性方程缉Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
已知r(a1,a2,a3)=2,r(a2,a3,a4)=3,证明:a1能由a2,a3线性表示;
设向量组(I):b1,…,br能由向量组(Ⅱ):a1,…,as线性表示为(b1,…,br)=(a1,…,as)K,其中K为s×r矩阵,且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0。证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关。
设f(x)=|sint|dt,证明f(x)是以π为周期的周期函数;
已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3。
设A为正交矩阵,且|A|=一1,证明:λ=一1是A的特征值。
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