设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

admin2015-06-30 61

问题设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f’(x)｜≤

｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

选项

答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f’(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x₀∈[0，1]，使得｜f(x₀)｜=M．当x₀=0时，则M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x₀≠0时，M=｜f(x₀)｜=｜f(x₀)-f(0)｜=｜f’(ξ)｜x₀≤｜f’(ξ)｜≤[*] 其中ξ∈(0，x₀)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．

解析

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