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  3. 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1.证明：存在ξ∈(0，1)。使得f″(ξ)≥8.

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1.证明：存在ξ∈(0，1)。使得f″(ξ)≥8.

admin2022-08-19  19
问题 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1.证明：存在ξ∈(0，1)。使得f″(ξ)≥8.
选项
答案因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，[*]f(x)=-1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)。使得f(c)=-1，再由费马定理知f′(c)=0， 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+[f″(ξ1]/2!(0-c)2，ξ1∈(0，c) f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[f″(ξ2]/2!(1-c)2，ξ2∈(c，1) 整理得 f″(ξ1)=2/c2，f″(ξ2)=2/[(1-c)2]. 当c∈(0，1/2]时，f″(ξ1)=2/c2≥8，取ξ=ξ1； 当c∈(1/2，1)时，f″(ξ2)=2/[(1-c)2]≥8，取ξ=ξ2. 所以存在ξ∈(0，1)，使得f″(ξ)≥8.
解析
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考研数学三

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