设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且f(x)=-1.证明:存在ξ∈(0,1)。使得f″(ξ)≥8.

admin2022-08-19  26

问题 设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且f(x)=-1.证明:存在ξ∈(0,1)。使得f″(ξ)≥8.

选项

答案因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,[*]f(x)=-1,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在c∈(0,1)。使得f(c)=-1,再由费马定理知f′(c)=0, 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+[f″(ξ1]/2!(0-c)2,ξ1∈(0,c) f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[f″(ξ2]/2!(1-c)2,ξ2∈(c,1) 整理得 f″(ξ1)=2/c2,f″(ξ2)=2/[(1-c)2]. 当c∈(0,1/2]时,f″(ξ1)=2/c2≥8,取ξ=ξ1; 当c∈(1/2,1)时,f″(ξ2)=2/[(1-c)2]≥8,取ξ=ξ2. 所以存在ξ∈(0,1),使得f″(ξ)≥8.

解析
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