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设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0且=a>0,令an=-∫1nf(x)dx.证明:{an}收敛且0≤≤f(1).
设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0且=a>0,令an=-∫1nf(x)dx.证明:{an}收敛且0≤≤f(1).
admin
2020-03-10
61
问题
设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0且
=a>0,令a
n
=
-∫
1
n
f(x)dx.证明:{a
n
}收敛且0≤
≤f(1).
选项
答案
因为f’(x)<0,所以f(x)单调减少.又因为a
n+1
-a
n
=f(n+1)-∫
n
n+1
f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]).所以{a
n
}单调减少.因为a
n
=[*][f(k)-f(x)]dx+f(n),而∫
k
k+1
[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1,2,…,n-1)且 [*] 所以存在X>0,当x>X时,f(x)>0.由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1,+∞)),故a
n
≥f(n)>0,所以 [*] 存在.由a
n
=f(1)+[f(2)-∫
1
2
f(x)dx]+…+[f(n)-∫
n-1
n
f(x)dx],而f(k)-∫
k-1
k
f(x)dx≤0(k=2,3,…,n),所以a
n
≤f(1),从而0≤[*]≤f(1).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YVD4777K
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考研数学三
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