设多项式f(χ)被χ2-1除后余式为3χ+4,且已知f(χ)有因子χ,若f(χ)被χ(χ2-1)除后余式为pχ2+qχ+r,则P2-q2+r2( ).

admin2019-03-12  48

问题 设多项式f(χ)被χ2-1除后余式为3χ+4,且已知f(χ)有因子χ,若f(χ)被χ(χ2-1)除后余式为pχ2+qχ+r,则P2-q2+r2(    ).

选项 A、2
B、3
C、4
D、5
E、7

答案E

解析 因为f(χ)被χ(χ2-)除后余式为pχ2+qχ+r,
    可设f(χ)=χ(χ2-1)q(χ)+pχ2+qχ+r,又因为f(χ)被χ2-1除后余式为3χ+4,
    所以pχ2+qχ+r=p(χ2-1)+3χ+4,故f(χ)=r(χ2-1)q(χ)+p(χ2-1)+3χ+4.
    而f(χ)有因子χ。根据余数定理知:
    f(0)=00-P+4=0。所以P=4.
    故pχ2+qχ+r=4(χ2-1)+3χ+4
    =4χ2+3χ.
    因此P=4,q=3,r=0,
    于是P2-q2+r2=16-9=7,故选E.
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