二次型xTAx正定的充要条件是

admin2020-03-01 62

问题二次型x^TAx正定的充要条件是

选项 A、负惯性指数为零．
B、存在可逆矩阵P，使P^－1AP=E．
C、A的特征值全大于零．
D、存在n阶矩阵C，使A=C^TC．

答案C

解析 A是正定的必要条件．若f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+5x₃²，虽q=0，但f不正定．
B是充分条件．正定并不要求特征值全为1．虽A=

不和单位矩阵E相似，但二次型x^TAx正定．
D中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E合同，例如C=

，A=C^TC=

，则x^TAx不正定．
故应选C．

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