设f(x,y)在全平面有连续偏导数,曲线积分∫Lf(x,y)dx+xcosydy,在全平面与路径无关,且求f(x,y).

admin2017-11-23  48

问题 设f(x,y)在全平面有连续偏导数,曲线积分∫Lf(x,y)dx+xcosydy,在全平面与路径无关,且求f(x,y).

选项

答案(Ⅰ)∫Lf(x,y)dx+xcosydy在全平面与路径无关<=> [*] 积分得 f(x,y)=siny+C(x). (Ⅱ)求f(x,y)转化为求C(x). 取特殊路径如图所示, [*] 由于 ∫0tf(x,0)dx+[*]cosydy=t2, 即 ∫0tC(x)dx+tsint2=t2 甘 C(t)=2t—sint2—2t2cost2. 因此 f(x,y)=siny+2x—sinx2—2x2cosx2

解析
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