2. 考研
  3. 设f(χ)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(χ)≠0(1＜χ＜2)，又存在且非零，证明： (1)存在ξ∈(1，2)，使得 (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f′(η)ln2．

设f(χ)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(χ)≠0(1＜χ＜2)，又存在且非零，证明： (1)存在ξ∈(1，2)，使得 (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f′(η)ln2．

admin2019-08-23  59
问题 设f(χ)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(χ)≠0(1＜χ＜2)，又存在且非零，证明：
    (1)存在ξ∈(1，2)，使得
    (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f′(η)ln2．
选项
答案(1)令h(χ)＝lnχ，F(χ)＝∫1χf(t)dt，且F′(χ)＝f(χ)≠0， 由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得[*]， 即[*]． (2)由[*]存在，得f(1)＝0， 由拉格朗日中值定理得f(ξ)＝f(ξ)－f(1)＝f′(η)(ξ－1)，其中1＜η＜ξ， 故∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f′(η)ln2．
解析
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考研数学二

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