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设f(χ)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(χ)≠0(1<χ<2),又存在且非零,证明: (1)存在ξ∈(1,2),使得 (2)存在η∈(1,2),使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.
设f(χ)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(χ)≠0(1<χ<2),又存在且非零,证明: (1)存在ξ∈(1,2),使得 (2)存在η∈(1,2),使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.
admin
2019-08-23
108
问题
设f(χ)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(χ)≠0(1<χ<2),又
存在且非零,证明:
(1)存在ξ∈(1,2),使得
(2)存在η∈(1,2),使得∫
1
2
f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.
选项
答案
(1)令h(χ)=lnχ,F(χ)=∫
1
χ
f(t)dt,且F′(χ)=f(χ)≠0, 由柯西中值定理,存在ξ∈(1,2),使得[*], 即[*]. (2)由[*]存在,得f(1)=0, 由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f′(η)(ξ-1),其中1<η<ξ, 故∫
1
2
f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.
解析
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考研数学二
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