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  3. 由方程2y3－2y2﹢2xy﹢y－x2＝0确定的函数y＝y(x) ( )

由方程2y3－2y2﹢2xy﹢y－x2＝0确定的函数y＝y(x) ( )

admin2018-12-21  56
问题 由方程2y3－2y2﹢2xy﹢y－x2＝0确定的函数y＝y(x)    (    )
选项 A、没有驻点．
B、有驻点但不是极值点．
C、驻点为极小值点．
D、驻点为极大值点．
答案C
解析 将所给方程两边对x求导数(y看成由此式确定的x的函数)，有
6y2y’－4yy’﹢2y﹢2xy’﹢y’－2x＝0，
(6y2－4y﹢2x﹢1)y’﹢2(y－x)＝0．
先考虑驻点，令y’＝0，得y＝x，再与原方程联立：

得2x3－2x2﹢2x2﹢x－x2＝0，即x(2x2－x﹢1)＝0．
由于2x2－x﹢1＝0无实根，故得唯一实根x＝0，相应地有y＝0．在此点有y’＝0．不选(A)．
再看此点是否为极值点，求二阶导数，由

以x＝0，y＝0，y’＝0代入，得y”(0)＝2＞0，所以该驻点为极小值点，选(C)．
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考研数学二

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