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(2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+kα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的
(2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+kα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的
admin
2018-07-30
45
问题
(2014年)设α
1
，α
2
，α
3
均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α
1
+kα
3
，α
2
+kα
3
线性无关是向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关的
选项
A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
方法1：记向量组(Ⅰ)：α
1
+kα
3
，α
2
+lα
3
；
向量组(Ⅱ)：α
1
，α
2
，α
3
．
(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：
[α
1
+α
3
，α
2
+lα
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α
1
，α
2
，α
3
]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵
的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．
但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当是k=l=0时，(Ⅰ)线性无关即向量组α
1
，α
2
线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．
方法2：设有常数x
1
，x
2
，使得
x
1
(α
1
+kα
3
)+x
1
(α
2
+lα
3
)=0
即x
1
α
1
+x
2
α
2
+(x
1
k+x
2
l)α
3
=0，
若(Ⅱ)线性无关，则x
1
=x
2
=x
1
k+x
2
l=0，故由定义知(Ⅰ)线性无关．但若(Ⅰ)线性无关，(Ⅱ)却未必线性无关，例如α
1
=(1，0，0)
T
，α
2
=(0，1，0)
T
，α
3
=0，则(Ⅰ)线性无关，但(Ⅱ)却线性相关．因此，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要非充分条件．
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