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已知实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6.AB=C,其中 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;
已知实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6.AB=C,其中 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;
admin
2019-12-26
48
问题
已知实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=-6.AB=C,其中
用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;
选项
答案
由题设AB=C,得 [*] 由此知λ
1
=0,λ
2
=-12是A的特征值,α
1
=(1,2,1)
T
,α
2
=(1,-1,1)
T
分别是对应的特征向量. 设A的第3个特征值为λ
3
,由λ
1
+λ
2
+λ
3
=tr(A)=-6,得λ
3
=6,再设A的对应于λ
3
=6的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则由λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,有 [*] 解得α
3
=(-1,0,1)
T
.将α
1
,α
2
,α
3
单位化得 [*] 令P=(p
1
,p
2
,p
3
),则x=Py为所求的正交变换,将f=-12y
2
2
+6y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TJD4777K
0
考研数学三
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