2. 考研
  3. 已知实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=－6．AB=C，其中 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

已知实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=－6．AB=C，其中 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

admin2019-12-26  80
问题 已知实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=－6．AB=C，其中
     
用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；
选项
答案由题设AB=C，得 [*] 由此知λ1=0，λ2=－12是A的特征值，α1=(1，2，1)T，α2=(1，－1，1)T分别是对应的特征向量． 设A的第3个特征值为λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=－6，得λ3=6，再设A的对应于λ3=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则由λ1，λ2，λ3互异，有 [*] 解得α3=(－1，0，1)T．将α1，α2，α3单位化得 [*] 令P=(p1，p2，p3)，则x=Py为所求的正交变换，将f=－12y22+6y32．
解析
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考研数学三

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