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  3. 设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限证明： f(x)在(－∞，+∞)上有界．

设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限证明： f(x)在(－∞，+∞)上有界．

admin2019-02-20  62
问题 设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限证明：
f(x)在(－∞，+∞)上有界．
选项
答案【证法一】 利用极限的性质转化为有界区间的情形． 因[*]由存在极限的函数的局部有界性定理(即定理1.4)可知，[*]X1，使得当x∈(－∞，X1)时f(x)有界；[*]X2(＞X1)，使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理(即定理1.6)可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界． 【证法二】 利用变量替换与构造辅助函数的方法转化为有界区间的情形． 当x∈(－∞，+∞)时f(x)=f(tant)=F(t)，[*]因F(t)在[*]上连续，故有界，从而F(t)在[*]有界，因此f(x)在(－∞，+∞)有界． 【注：定理1.4 设存在极限[*]则f(x)在x0的空心邻域U0(x0，δ)={x|0＜|x－x0||＜δ}内有界，即存在δ＞0与M＞0，使得当0＜|x－x0|＜8时有|f(x)|≤M．定理1.6 若存在δ＞0，使得当0＜|x－x0||＜δ时有h(x)≤g(x)，又[*]则[*]
解析
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考研数学三

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