设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: f(x)在(-∞,+∞)上有界.

admin2019-02-20  56

问题 设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明:
f(x)在(-∞,+∞)上有界.

选项

答案【证法一】 利用极限的性质转化为有界区间的情形. 因[*]由存在极限的函数的局部有界性定理(即定理1.4)可知,[*]X1,使得当x∈(-∞,X1)时f(x)有界;[*]X2(>X1),使得当x∈(X2,+∞)时f(x)有界.又由有界闭区间上连续函数的有界性定理(即定理1.6)可知,f(x)在[X1,X2]上有界.因此f(x)在(-∞,+∞)上有界. 【证法二】 利用变量替换与构造辅助函数的方法转化为有界区间的情形. 当x∈(-∞,+∞)时f(x)=f(tant)=F(t),[*]因F(t)在[*]上连续,故有界,从而F(t)在[*]有界,因此f(x)在(-∞,+∞)有界. 【注:定理1.4 设存在极限[*]则f(x)在x0的空心邻域U0(x0,δ)={x|0<|x-x0||<δ}内有界,即存在δ>0与M>0,使得当0<|x-x0|<8时有|f(x)|≤M.定理1.6 若存在δ>0,使得当0<|x-x0||<δ时有h(x)≤g(x),又[*]则[*]

解析
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