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设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α1=是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2. (1)求参数a的值; (2)求方程组Ax=α2的通解; (3)求矩阵A; (4)求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α1=是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2. (1)求参数a的值; (2)求方程组Ax=α2的通解; (3)求矩阵A; (4)求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
admin
2017-07-26
64
问题
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α
1
=
是A的两个不同的特征向量,且A(α
1
+α
2
)=α
2
.
(1)求参数a的值;
(2)求方程组Ax=α
2
的通解;
(3)求矩阵A;
(4)求正交矩阵Q,使得Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(1)若α
1
,α
2
均为λ
1
=0的特征向量,则有 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=0.α
1
+0.α
2
—0≠α
2
,矛盾. 若α
1
+α
2
均为λ
2
=λ
3
=1的特征向量,则有 A(α
1
+α
2
)==Aα
1
+Aα
2
=1.α
1
+1.α
2
≠α
2
,同样矛盾. 可见α
1
,α
2
是属于实对称矩阵A的两个不同特征值的特征向量,且α
1
是属于特征值λ
1
=0的特征向量,α
2
是属于特征值λ
2
=λ
3
=1的特征向量,根据实对称矩阵的性质,α
1
,α
2
必正交,故有 α
1
α
2
=1一a=0,得a=1. (2)因为A可对角化,且A=[*],可见秩r(A)=2,于是齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=1.而Aα
1
=0.α
1
=0,因此α
1
可作为Ax=0的基础解系,又Aα
2
=α
2
,α
2
是Ax=α
2
的特解.故Ax=α
2
的通解为 x=α
2
+kα
1
=[*],其中k为任意常数. (3)设λ
2
=λ
3
=1的另一特征向量为α
3
=[*],则α
3
与α
1
正交,不妨进一步要求α
3
与α
2
也正交,则有 [*] 由A[α
1
,α
2
,α
3
]=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
],得 A=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
].[α
1
,α
2
,α
3
]
—1
[*] (4)因为α
1
,α
2
,α
3
已经两两正交,只需单位化: η
1
=[*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,且有Q
T
AQ=[*]
解析
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考研数学三
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