2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0，1，1，α1=是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． (1)求参数a的值； (2)求方程组Ax=α2的通解； (3)求矩阵A； (4)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．

设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0，1，1，α1=是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． (1)求参数a的值； (2)求方程组Ax=α2的通解； (3)求矩阵A； (4)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．

admin2017-07-26  43
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0，1，1，α1=是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2．
(1)求参数a的值；
(2)求方程组Ax=α2的通解；
(3)求矩阵A；
(4)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．
选项
答案(1)若α1，α2均为λ1=0的特征向量，则有 A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0．α1+0．α2—0≠α2，矛盾． 若α1+α2均为λ2=λ3=1的特征向量，则有 A(α1+α2)==Aα1+Aα2=1．α1+1．α2≠α2，同样矛盾． 可见α1，α2是属于实对称矩阵A的两个不同特征值的特征向量，且α1是属于特征值λ1=0的特征向量，α2是属于特征值λ2=λ3=1的特征向量，根据实对称矩阵的性质，α1，α2必正交，故有 α1α2=1一a=0，得a=1． (2)因为A可对角化，且A=[*]，可见秩r(A)=2，于是齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=1．而Aα1=0．α1=0，因此α1可作为Ax=0的基础解系，又Aα2=α2，α2是Ax=α2的特解．故Ax=α2的通解为 x=α2+kα1=[*]，其中k为任意常数． (3)设λ2=λ3=1的另一特征向量为α3=[*]，则α3与α1正交，不妨进一步要求α3与α2也正交，则有 [*] 由A[α1，α2，α3]=[λ1α1，λ2α2，λ3α3]，得 A=[λ1α1，λ2α2，λ3α3]．[α1，α2，α3]—1 [*] (4)因为α1，α2，α3已经两两正交，只需单位化： η1=[*] 令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且有QTAQ=[*]
解析
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考研数学三

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