首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α1=是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2. (1)求参数a的值; (2)求方程组Ax=α2的通解; (3)求矩阵A; (4)求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α1=是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2. (1)求参数a的值; (2)求方程组Ax=α2的通解; (3)求矩阵A; (4)求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
admin
2017-07-26
58
问题
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α
1
=
是A的两个不同的特征向量,且A(α
1
+α
2
)=α
2
.
(1)求参数a的值;
(2)求方程组Ax=α
2
的通解;
(3)求矩阵A;
(4)求正交矩阵Q,使得Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(1)若α
1
,α
2
均为λ
1
=0的特征向量,则有 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=0.α
1
+0.α
2
—0≠α
2
,矛盾. 若α
1
+α
2
均为λ
2
=λ
3
=1的特征向量,则有 A(α
1
+α
2
)==Aα
1
+Aα
2
=1.α
1
+1.α
2
≠α
2
,同样矛盾. 可见α
1
,α
2
是属于实对称矩阵A的两个不同特征值的特征向量,且α
1
是属于特征值λ
1
=0的特征向量,α
2
是属于特征值λ
2
=λ
3
=1的特征向量,根据实对称矩阵的性质,α
1
,α
2
必正交,故有 α
1
α
2
=1一a=0,得a=1. (2)因为A可对角化,且A=[*],可见秩r(A)=2,于是齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=1.而Aα
1
=0.α
1
=0,因此α
1
可作为Ax=0的基础解系,又Aα
2
=α
2
,α
2
是Ax=α
2
的特解.故Ax=α
2
的通解为 x=α
2
+kα
1
=[*],其中k为任意常数. (3)设λ
2
=λ
3
=1的另一特征向量为α
3
=[*],则α
3
与α
1
正交,不妨进一步要求α
3
与α
2
也正交,则有 [*] 由A[α
1
,α
2
,α
3
]=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
],得 A=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
].[α
1
,α
2
,α
3
]
—1
[*] (4)因为α
1
,α
2
,α
3
已经两两正交,只需单位化: η
1
=[*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,且有Q
T
AQ=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XgH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
A、 B、 C、 D、 A
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,证明:(I)存在εi∈(a,b),使得f(εi)=f〞(εi)(i=1,2);(Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f〞(η).
证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
证明推广的积分中值定理:设F(x)与G(x)都是区间[a,b]上的连续函数,且G(x)≥0,G(x)≠0,则至少存在一点ξ∈[a,b]使得
当x→0时,f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小,则
设A和B是任意两个概率不为0的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是().
已知边长为x=6m与y=8m的矩形,当-z边增加5cmI而y边减少10cm时,求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续(a,b>0),在(a,b)内可导,试证:在(a,b)内至少有一点ξ,使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立.
对于任意二事件A1,A2,考虑二随机变量试证明:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.
随机试题
A、Theprofessor’sweakvoice.B、Thetrafficnoise.C、Themicrophone.D、Therollofthunder.B
下列关于DNA复性的叙述,正确的是
上消化道大出血是指数小时内失血量超过
关于种植体周围组织病变的治疗,下列哪项是错误
某厂新建一条生产线,工期要求9月10日投产,因遇到“非典”时期,机械设备于7月28日才陆续到位,晚到45d,而且设备制造质量粗糙,造成施工安装单位一边进行设备安装,一边整修不规范设备。设备在试生产2个月后,密封装置性能较差。检查发现制造的曲轨误差
某校成立“气象观测小组”,让学生了解气候的变化规律,这属于课外活动中的()
公安工作的对象决定了公安工作具有打击与保护的双重特点。()
《反不正当竞争法》中所说的商业秘密,是指不为公众所知悉,能为权利人带来经济利益,具有实用性并经权利人()。
中国共产党在社会主义初级阶段基本路线的核心和主体是
下列的英文缩写和中文名字的对照中,正确的一个是__________。
最新回复
(
0
)