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(2004年)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b];∫abf(t)dt=∫abg(t)dx 证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx
(2004年)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b];∫abf(t)dt=∫abg(t)dx 证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx
admin
2018-07-24
106
问题
(2004年)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈[a,b];∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dx
证明:∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx
选项
答案
不等式∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt两端从a到b积发得 ∫
a
b
dx∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
b
dx∫
a
x
g(t)dt 交换累次积分次序得 ∫
a
b
dt∫
t
b
f(t)dx≥∫
a
b
dt∫
t
b
g(t)dx ∫
a
b
(b一t)f(t)dt≥∫
a
b
(b一t)g(t)dt 即 b∫
a
b
f(t)dt—∫
a
b
tf(t)dt≥b∫
a
b
g(t)dt—∫
a
b
tg(t)dt 又 ∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt 则 一∫
a
b
tf(t)dt≥-∫
a
b
tg(t)dt 故 ∫
a
b
tf(t)dt≤∫
a
b
tg(t)dt 即 ∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx
解析
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考研数学三
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