(1999年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )

admin2018-04-17 71

问题 (1999年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )

选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。
D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。

答案A

解析应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性。
f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=∫₀^xf(t)dt+C，于是

当f(x)为奇函数时，f(一u)=一f(u)，从而有
F(一x)=∫₀^xf(u)du+C=∫₀^xf(t)dt+C=F(x)，
即F(x)为偶函数。故A为正确选项。
B，C，D可分别举反例如下：
f(x)=x²是偶函数，但其原函数

不是奇函数，可排除B；
f(x)=cos²x是周期函数，但其原函数

不是周期函数，可排除C；
f(x)=x在区间(一∞，+∞)内是单调增函数，但其原函数

在区间(一∞，+∞)内非单调递增函数，可排除D。

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考研数学三

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