2. 考研
  3. 设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内取得最大值，且|f"(x)|≤M，证明：|f′(0)|+|f(a)|≤Ma．

设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内取得最大值，且|f"(x)|≤M，证明：|f′(0)|+|f(a)|≤Ma．

admin2020-05-02  27
问题 设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内取得最大值，且|f"(x)|≤M，证明：|f′(0)|+|f(a)|≤Ma．
选项
答案设f(x)在(0，a)内的某点C取得最大值，则f′(c)=0．由拉格朗日中值定理，得 f′(c)－f′(0)=f"(ξ1)(c－0)，0＜ξ1＜c f′(a)－f′(c)=f"(ξ2)(a－c)， c＜ξ2＜a 即 f′(0)=－cf"(ξ1)，f′(a)=f"(ξ2)(a－c) 故有 |f′(0)|+|f′(a)|=c|f"(ξ1)|+(a－c)|f"(ξ2)|≤cM+(a－c)M=aM
解析
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考研数学一

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