在区间[0，a]上|f"(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明： |f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．

admin2018-08-22 22

问题在区间[0，a]上|f"(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：
|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．

选项

答案f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f’(c)=0． f’(x)在区间[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理，得 f’(c)一f’(0)=cf"(ξ₁)，ξ₁∈(0，c)， f’(a)一f’(c)=(a一c)f"(ξ₂)，ξ₂∈(c，a)，所以 |f’(0)|+|f’(a)|=c|f"(ξ)|+(a-c)|f"(ξ₂)| ≤cM+(a一c)M=aM．

解析

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