已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3． (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

admin2015-08-14 143

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²一3x₃²+4x₁x₂—4x₁x₃+8x₂x₃．
(1)写出二次型f的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

选项

答案(1)二次型的矩阵[*]则二次型f的矩阵表达式 f=x^TAx． (2)A的特征多项式|A一λE|=一(6+λ)(1一λ)(6一λ)，则A的特征值λ₁=一6，λ₂=1，λ₃=6． λ₁=一6对应的正交单位化特征向量[*] λ₂=1对应的正交单位化特征向量[*] λ₃=6对应的正交单位化特征向量[*] 令正交矩阵[*] 所求正交变换[*]二次型f的标准型f=-6y₁²+y₂²+6y₃²．

解析

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