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设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行和第j行,得到的矩阵记成B,则下列五个关系 (Ⅰ)|A|=|B|; (Ⅱ)r(A)=r; 中正确的有( )
设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行和第j行,得到的矩阵记成B,则下列五个关系 (Ⅰ)|A|=|B|; (Ⅱ)r(A)=r; 中正确的有( )
admin
2020-05-19
86
问题
设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行和第j行,得到的矩阵记成B,则下列五个关系
(Ⅰ)|A|=|B|;
(Ⅱ)r(A)=r;
中正确的有( )
选项
A、2个.
B、3个.
C、4个.
D、5个.
答案
D
解析
将A的i列、j列互换,再将i行、j行互换,相当于右乘、左乘相同的互换初等阵E
ij
,即β=E
ij
AE
ij
,其中
①|E
ij
|=一1≠0,是可逆矩阵,|E
ij
|
2
=1,故(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)成立.
②E
ij
-1
=E
ij
,故E
ij
-1
AE
ij
=E
ij
AE
ij
=B,故A~B,(Ⅳ)成立.
③E
ij
-T
=E
ij
,故E
ij
AE
ij
=E
ij
-T
AE
ij
=B,故A
B,(Ⅴ)成立.
从而知(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)、(Ⅴ)均成立.应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Tjv4777K
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考研数学一
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