2. 考研
  3. 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记成B，则下列五个关系 (Ⅰ)|A|=|B|； (Ⅱ)r(A)=r； 中正确的有( )

设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记成B，则下列五个关系 (Ⅰ)|A|=|B|； (Ⅱ)r(A)=r； 中正确的有( )

admin2020-05-19  75
问题 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记成B，则下列五个关系
(Ⅰ)|A|=|B|；
(Ⅱ)r(A)=r；

中正确的有(     )
选项 A、2个．
B、3个．
C、4个．
D、5个．
答案D
解析 将A的i列、j列互换，再将i行、j行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵Eij，即β=EijAEij，其中

①|Eij|=一1≠0，是可逆矩阵，|Eij|2=1，故(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)成立．
②Eij－1=Eij，故Eij－1AEij=EijAEij=B，故A～B，(Ⅳ)成立．
③Eij－T=Eij，故EijAEij=Eij－TAEij=B，故AB，(Ⅴ)成立．
从而知(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)、(Ⅴ)均成立．应选(D)．
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考研数学一

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