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  3. 设,F(x)=∫0xf(t)dt,则（ ）。

设,F(x)=∫0xf(t)dt,则（ ）。

admin2021-07-15  31
问题 设,F(x)=∫0xf(t)dt,则（    ）。
选项 A、F(x)在x=0处不连续
B、F(x)在（－∞，+∞）内连续，但在x=0处不可导
C、F(x)在（－∞，+∞）内可导，且满足F’(x)=f(x)
D、F(x)在（－∞，+∞）内可导，但不一定满足F’（x)=f(x)
答案B
解析 首先要注意：当f(x)为连续函数时，F(x)=∫0xf(t)dt为f(x)的原函数，此时有[∫0xf(t)dt]’=f(x),如果f(x)不为连续函数，上述结论不一定成立，因此不能轻易判定C成立。
由于f(x)为分段函数，因此F(x)=∫0xf(t)dt也为分段函数。
当x＜0时，F(x)=∫0x(－1)dt=－x
当x＞0时，F(x)=∫0x1dt=x
当x=0时，F(0)=0
因此F(x)=｜x｜，可知F(x)在（－∞，+∞）内连续，但在x=0处不可导，选B.
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考研数学二

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