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考研
设,F(x)=∫0xf(t)dt,则( )。
设,F(x)=∫0xf(t)dt,则( )。
admin
2021-07-15
70
问题
设
,F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则( )。
选项
A、F(x)在x=0处不连续
B、F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0处不可导
C、F(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足F’(x)=f(x)
D、F(x)在(-∞,+∞)内可导,但不一定满足F’(x)=f(x)
答案
B
解析
首先要注意:当f(x)为连续函数时,F(x)=∫
0
x
f(t)dt为f(x)的原函数,此时有[∫
0
x
f(t)dt]’=f(x),如果f(x)不为连续函数,上述结论不一定成立,因此不能轻易判定C成立。
由于f(x)为分段函数,因此F(x)=∫
0
x
f(t)dt也为分段函数。
当x<0时,F(x)=∫
0
x
(-1)dt=-x
当x>0时,F(x)=∫
0
x
1dt=x
当x=0时,F(0)=0
因此F(x)=|x|,可知F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0处不可导,选B.
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考研数学二
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