考虑一元函数f(x)的下列4条性质: ①f(x)在[a,b]上连续; ②f(x)在[a,b]上可积; ③f(x)在[a,b]上可导; ④f(x)在[a,b]上存在原函数. 以PQ表示由性质P可推出性质Q,则有 ( )

admin2019-08-11  79

问题 考虑一元函数f(x)的下列4条性质:
①f(x)在[a,b]上连续;
②f(x)在[a,b]上可积;
③f(x)在[a,b]上可导;
④f(x)在[a,b]上存在原函数.
以PQ表示由性质P可推出性质Q,则有    (    )

选项 A、①③.
B、③④.
C、①④.
D、④①.

答案B

解析 因可导必连续,连续函数必存在原函数,故(B)正确.
(A)是不正确的.虽然由①(连续)可推出②(可积),但由②(可积)推不出③(可导).例如f(x)=|x|在[-1,1]上可积,且xdx=1,但|x|在x=0处不可导?
(C)是不正确的.由②(可积)推不出④(存在原函数),例如f(x)=在[-1,1]上可积,且 =-1+1=0,但f(x)在[-1,1]上不存在原函数.因为如果存在原函数F(x),那么只能是F(x)=|x|+C的形式,而此函数在x=0处不可导,在区间[-1,1]上它没有做原函数的“资格”.
(D)是不正确的.因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续).反例如下:

它存在原函数

可以验证F′(x)=f(x),但f(x)在x=0处并不连续,即存在原函数可以不连续.
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