设A是n阶非零矩阵，Am＝0，下列命题中不一定正确的是

admin2019-08-12 64

问题设A是n阶非零矩阵，A^m＝0，下列命题中不一定正确的是

选项 A、A的特征值只有零．
B、A必不能对角化．
C、E＋A＋A²＋…＋A^m-1必可逆．
D、A只有一个线性无关的特征向量．

答案D

解析设Aα＝λα，α≠0，则A^mα＝λ^mα＝0．故λ＝0．选项A正确．
因为A≠0，r(A)≥1，那么Aχ＝0的基础解系有n－r(A)个解，即λ＝0有n－r(A)个线性无关的特征向量．故选项B正确，而选项D不一定正确．
由(B－A)(E＋A＋A²＋…＋A^m-1)＝E－A^m＝E，知选项C正确．
故应选D．

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