已知函数y=e2x+(x+1)ex是线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．

admin2019-05-14 55

问题已知函数y=e^2x+(x+1)e^x是线性微分方程y’’+ay’+by=ce^x的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．

选项

答案先将函数y代入到微分方程中，比较等式两端同类项前的系数，得a=一3，b=2，c=一1．先求齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的通解，得[*] 由于非齐次微分方程y’’一3y’+2y=一e^x有一个特解y^*=e^2x+(x+1)e^x，于是，原微分方程的通解为 y=c₁’e^2x+c₂’e^x+e^2x+(1+x)ex=c₁e^2x+c₂e^x+xe^x，其中c₁=(c₁’+1)、c₂=(c₂’+1)为任意常数．

解析本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构．

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考研数学一

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