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设函数f(u)具有2阶连续导数,z=f(excosy)满足=(4x+excosy)e2x.若f(0)=0,f’(0) =0,求f(u)的表达式.
设函数f(u)具有2阶连续导数,z=f(excosy)满足=(4x+excosy)e2x.若f(0)=0,f’(0) =0,求f(u)的表达式.
admin
2021-01-19
131
问题
设函数f(u)具有2阶连续导数,z=f(e
x
cosy)满足
=(4x+e
x
cosy)e
2x
.若f(0)=0,f’(0) =0,求f(u)的表达式.
选项
答案
令e
x
cosy=u,则 [*] 将以上两个式子代入 [*]= (4z+e
x
cosy)e
2x
得 f"(u)=4f(u)+u 即 f"(u)一4f(u)=u 以上方程对应的齐次方程的特征方程为r
2
一4=0,特征根为r=±2,齐次方程的通解为 f(u)=C
1
e
2u
+ C
2
e
一2u
设非齐次方程的特解为f
*
=au+b,代入非齐次方程得a=[*],b=0. 则原方程的通解为f(u)=C
1
e
2u
+ C
2
e
一2u
一[*] 由f(0)=0,f’(0)=0得C
1
=[*]则 f(u)=[*](e
2u
一e
一2u
一4u).
解析
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考研数学二
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