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设A,B均为n阶方阵,且A为可逆矩阵,B为不可逆矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则( ).
设A,B均为n阶方阵,且A为可逆矩阵,B为不可逆矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则( ).
admin
2015-12-22
42
问题
设A,B均为n阶方阵,且A为可逆矩阵,B为不可逆矩阵,A
*
,B
*
分别为A,B的伴随矩阵,则( ).
选项
A、A
*
+B
*
必为可逆矩阵
B、A
*
+B
*
必为不可逆矩阵
C、A
*
B
*
必为可逆矩阵
D、A
*
B
*
必为不可逆矩阵
答案
D
解析
可利用A
*
的秩与A的秩的关系判别.当A为满秩矩阵(或为列满秩矩阵)时,还可利用秩(AB)=秩(B),简易判别.
解一 因A为可逆矩阵,故秩(A)=n,因而秩(A
*
)=n,而B为不可逆矩阵,故秩(B)≤n一1,从而秩(B
*
)≤1.于是
秩(A
*
B
*
)一秩(B
*
)≤1,
故A
*
B
*
必为不可逆矩阵.
解二 用反证法证之.如A
*
B
*
可逆,由题设又知A可逆,则A
*
=∣A∣A
-1
可逆.(A
*
)
-1
存在,则(A
*
)
-1
(A
*
B
*
)为两个可逆矩阵的乘积,故也可逆,即
(A
*
)
-1
A
*
B=[(A
*
)
-1
A
*
]B
*
=B
*
可逆,进而B可逆.这与题设矛盾,故A
*
B
*
不可逆.
解三 用排错法确定选项.设
则A可逆,B不可逆,易求得
则
不可逆,且
也不可逆.因而(A)、(C)都不对.
如令
因
,故A
*
+B
*
可逆,(B)也不对.
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考研数学二
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